线代Note

本文最后更新于:6 天前

线代NOTE

相关网站 线代启示

需要补充的

Laplace展开定理

分块矩阵的行列式计算

行列式章节

行列式

定义

n2n^2个元素aij(i,j=1n)a_{ij}(i,j=1……n)排成一个n行n列的正方形数表:

a11a12a13a1na21a22a23a2na3nan1an2an3ann\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&a_{3n}\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right|

由这个数表所决定的数,

p1p2p3pn(1)t(p1p2p3pn)a1p1a2p2a3p3anpn()\sum_{p_1p_2p_3\cdots{p_n}}(-1)^{t^{(p_1p_2p_3\cdots{p_n})}}a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}\cdots{a_{np_n}}(第一定义)

称为这个n x n 数表构成的n阶行列式,记为

Dn=a11a12a13a1na21a22a23a2na3nan1an2an3ann=p1p2p3pn(1)t(p1p2p3pn)a1p1a2p2a3p3anpnt(p1p2p3pn)np1p2p3pnD_n=\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&a_{3n}\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right| = \sum_{p_1p_2p_3\cdots{p_n}}(-1)^{t^{(p_1p_2p_3\cdots{p_n})}}a_{1p_1}a_{2p_2}a_{3p_3}\cdots{a_{np_n}}\\ t^{(p_1p_2p_3\cdots{p_n})}为n阶全排列{p_1p_2p_3\cdots{p_n}}的逆序数

若有方阵A,简记其行列式A|A|,或A=det(aij)|A|=det(a_{ij})aijn×n|a_{ij}|_{n\times{n}}aijn|a_{ij}|_n

特别的,a11=a11|a_{11}|=a_{11}

上述是行列式按列标全排列的所有可能(按行展开,行标是自然排列)来定义的,按行标(按列展开,列标不是自然排列)亦可

p1p2p3pn(1)t(p1p2p3pn)ap11ap22ap33apnn()\sum_{p_1p_2p_3\cdots{p_n}}(-1)^{t^{(p_1p_2p_3\cdots{p_n})}}a_{p_1{1}}a_{p_2{2}}a_{p_3{3}}\cdots{a_{p_nn}}(第二定义)

*也可以,不按行不按列展开(行标,列标都不是标准排列),这样某一项的正负是有行标和列标各自的全排列的逆序数之和决定(第三定义)

排列和逆序数

定义1:从1,2,3,……,n中任意选取r个不同的书排成一列,称为排列

定义2:将1,2,3,……,n这n个不同的数排成一列,成为n阶全排列,简称全排列,数量为n!

定义3:如果一个排列中,存在排在左边的数必排在其右边的数大,即破坏了排列的自然顺序,则称他们为一个逆序;

一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数

定义4:逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数称为奇数的排列称为奇排列。

定理1:元素对换改变排列奇偶性

定理2:在n阶全排列中,偶排列和奇排列各占一半,即各有n!/2

性质

性质1:DT=DD^T=D(第一和第二定义)

性质2:两行对换,D=DD'=-D(第三定义)

性质3:两行相等,$D=0 2(2的推论-D=D,即D+D=0$)

性质4:某一行有公因子k,可朝外提取1次;全部行有公因子k,可向外提取n次,即k^n

性质5:存在两行对应成比例,D=0D=0

性质6:某一行全为0,则D=0D=0

注意:D=0D=0并不意味着性质3,5,6存在一个

如,下述行列式为0

123456789\left| \begin{matrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} \right|

性质7:行列式中,是行的那一行分开,其余行保持不变(容易错误)

b+cc+aa+ba+bb+cc+ac+aa+bb+c=bcaa+bb+cc+ac+aa+bb+c+caba+bb+cc+ac+aa+bb+c(8)\left| \begin{matrix} b+c & c+a & a+b\\ a+b & b+c & c+a\\ c+a & a+b & b+c \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} b & c & a\\ a+b & b+c & c+a\\ c+a & a+b & b+c \end{matrix} \right| +\left| \begin{matrix} c & a & b\\ a+b & b+c & c+a\\ c+a & a+b & b+c \end{matrix} \right| \\(一共可展开8项)

*性质8:某一行乘以一个数加到另一行,行列式的值不变(不能说减去)

根据行列式,行与列地位同等的定理,上述性质, 对行也成立。

行列式的展开

代数余子式和余子式

Aij=(1)(i+j)MijA_{ij}=(-1)^{(i+j)}M_{ij}

设有行列式|A|,则

A=ai1Ai1+ai2Ai2++ainAin|A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}

A=a1jA1j+a2jA2j++anjAnj|A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}

则称上述两式分别为**|A|按第i行展开的展开式和按第j列展开的展开式**

**异乘变零定理:**某一行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和为0(与伴随矩阵有关,证明从两行相等,行列式为0的角度思考)

(对列也成立)

拉普拉斯展开定理

取定行列式k行,有k行元素组成的所有k阶子式与与代数余子式乘积之和为D,正负由取定的k行 和 k列的下标之和决定

拉普拉斯定理讲解与证明

(非零子式的最高阶数)

行列式和特殊行列式的计算

同阶行列式相乘:可按矩阵相乘运算来算

不同阶或者同阶,行列式相乘的结果就是两行列式的数值相乘。

熟悉2阶和3阶行列式的计算

上三角方阵和下三角方阵的行列式皆为,主对角线元素的乘积

反上三角和下三角方阵的行列式为,次对角元素相乘,正负有对角线列标之和决定

三叉形行列式

范德蒙德行列式的计算公式要掌握

反对称行列式,奇数阶,D=0D=0

克莱姆法则

矩阵

1、矩阵定义

1、线性方程组

对于一个由m个方程和n个未知量的线性方程组:

{a11x1+a12x2++a1nxn=b1a11x1+a12x2++a1nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bm\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{2}\\ \cdots\cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{cases}

在这个线性方程组中,重要信息是未知量的个数 以及 未知量系数常数项,由此可以组成一个m x (n+1)规格的有序数表,用来反映出对应的线性方程组的所有信息。

A~=(a11a12a13a1nb1a11a12a13a2nb1a3na11a12a13amnb1)\widetilde{A}=\left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\ a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{2n}&b_{1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&a_{3n}&\vdots\\ a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{mn}&b_{1} \end{matrix} \right)

将这样的一个数表称为一个m x n矩阵,可以简记为(a_ij),或者(a_ij)_m x n

2、特殊矩阵

  • 1×11\times1矩阵A=(a)A=(a),记A=aA=a
  • 1×n1\times{n}矩阵A=(a1,a2,,an)A=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}),称行矩阵,亦称n维行向量}
  • m×1A=(a1a2am)m\times1{矩阵}A=\left( \begin{matrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{m} \end{matrix} \right),称为列矩阵,亦称m维列向量
  • 称为列矩阵,亦称m维列向量\
  • 所有元素都是 0 的矩阵称为零矩阵,记OO

3、n阶方阵

主对角线的概念只存在于方阵中

n×nnA=(a11a12a1na21a22a2nan1an2ann):aij=0,i>jA=(a11000a22000ann)ndiag(a11,a22,,ann)a11=a22==annA=(a000a000a)aii=1nEnEA=3A=aE{n}\times{n}{矩阵称为n阶方针}\\ A=\left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right)\\ \\ {对角矩阵:a_{ij}=0,当i>j时}\\ A=\left( \begin{matrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ 0&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right)\\ {称为n阶对角矩阵,记diag(a_{11},a_{22},\cdots,a_{nn})}\\ \\ 当a_{11}=a_{22}=\cdots=a_{nn},称数量矩阵\\ A=\left( \begin{matrix} a&0&\cdots&0\\ 0&a&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a \end{matrix} \right)\\ \\ 当a_{ii}=1,就称这个矩阵为n阶单位矩阵,记为E_n或E\\ A=3 \\ {最后注意,}A=aE\\

(一般空的地方表示元素是0)

关于对角矩阵的性质:

(123223134)(k1000k2000k3)=(112k13k12k22k23k21k33k34k3)(a1000a2000a3)(k1000k2000k3)=(1k12k33k32k12k23k31k13k34k3)\left( \begin{matrix} 1&2&3\\ 2&2&3\\ 1&3&4 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} k_{1}&0&0\\ 0&k_{2}&0\\ 0&0&k_{3} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1_1&2k_1&3k_1\\ 2k_2&2k_2&3k_2\\ 1k_3&3k_3&4k_3 \end{matrix} \right) \\ \left( \begin{matrix} a_{1}&0&0\\ 0&a_{2}&0\\ 0&0&a_{3} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} k_{1}&0&0\\ 0&k_{2}&0\\ 0&0&k_{3} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1k_1&2k_3&3k_3\\ 2k_1&2k_2&3k_3\\ 1k_1&3k_3&4k_3 \end{matrix} \right)

左行右列

对称矩阵和反对称矩阵(属于方阵)

  • 对称矩阵满足aij=ajia_{ij}=a_{ji},满足AT=AA^T=A
  • 反对称矩阵满足aij=ajia_{ij}=a_{ji},满足AT=AA^T=-A

4、矩阵的相等

两个矩阵行数,列数分别相等,则称两个矩阵为同形矩阵;

(相等前提)

如果两个同形矩阵对应元素都相等,则A=BA=B,两矩阵相等。

注意:两个零矩阵之间的规格可能不等,也就是两个零矩阵不一定相等

2、矩阵线性运算与运算律

矩阵加法

设A,B是同形矩阵,则A+B为对应元素相加之后的得到的矩阵

加法运算律:

  • 交换律:A+B=B+AA+B=B+A
  • 结合律:(A+B)+C=A+(B+C)(A+B)+C=A+(B+C)
  • A+O=O+A=AA+O=O+A=A

矩阵数乘

  • kA=aK=(kaij)mxnkA=aK=(ka_ij)_m x n

  • k(A+B)=kA+kBk(A+B)=kA+kB

  • (kl)A=k(lA)=l(kA)(kl)A=k(lA)=l(kA)

  • 0Am×n=Om×n0A_{m\times{n}}=O_{m\times{n}}

(矩阵提公因子:矩阵所有元素有公因子k,公因子向外提取一次,与行列式不同)

矩阵乘法

设有两个矩阵A_mxp与B_qxn,两矩阵可相乘的前提条件是,p=q;

(相等可乘,不等不乘)

得出的矩阵的规格为m x n;

(中间相等取两头m p q n)

cij=k=1pai1b1j+ai2b2j++aipbpjc_{ij}=\sum^{p}_{k=1}a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ip}b_{pj}

矩阵乘法运算律

  • 结合律(AB)C=A(BC)(AB)C=A(BC)
  • 分配律A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BCA(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC
  • (kA)B=A(kB)=k(AB)(kA)B=A(kB)=k(AB)
  • EmAm×n=Am×nEn=Am×n)E_mA_{m\times{n}}=A_{m\times{n}}E_n= A_{m\times{n}}(很重要)
  • 矩阵矩阵左乘右乘一个零矩阵Om×nO_{m\times{n}}得到的都是零矩阵

*矩阵乘法不满足三规律(容易错误)

  • AB=OA=OB=OAB=O不能推出A=O或B=O
  • AB=AC,AOB=CAB=AC,A≠O不能推出B=C
  • ABBAAB,BAAB≠BA,AB有意义,BA不一定有意义

(若AB=BAAB=BA,说明ABAB可交换,可交换的必要条件是m=n,p=q)

(所以算矩阵方程时要注意相乘的位置)

矩阵的幂运算

矩阵具有幂运算的前提是,A是一个n阶方阵

Ak=AAAkAk1Ak2=Ak1+k2(Ak1)k2=Ak1k2A^{k}=\underbrace{AA\cdots{A}}_{k}\\ {} \\ A^{k_{1}}A^{k_{2}}=A^{k_1+k_2} \\ {(A^{k_1})}^{k_2}=A^{k_{1}k_{2}} \\

特殊地,因为AE=EAAE=EA,下列公式是成立的

  • (AE)k=AkEk(AE)^{k}={A^kE^k}
  • (A+E)2=A2+2AE+E2(A+E)^2={A^2+2AE+E^2}
  • (A+E)(AE)=A2E2(A+E)(A-E)={A^2-E^2}

但是要注意,因为矩阵乘法不满足交换律(AB=BA),一般情况下,下列公式是不成立的:

  • (AB)kAkBk(AB)^{k}\neq{A^kB^k}
  • (A+B)2A2+2AB+B2(A+B)^2\neq{A^2+2AB+B^2}
  • (A+B)(AB)A2B2(A+B)(A-B)\neq{A^2-B^2}

由于AE=EAAE=EA,下列公式是成立的

3、矩阵转置

矩阵同序列的行换成同序列的列

aij=ajia_{ij}=a_{ji}

运算律:

设A和B和C为同形矩阵:

  • (AT)T=A{(A^{T})}^{T}=A
  • (A+B)T=AT+BT{(A+B)}^{T}=A^{T}+B^{T}
  • (AB)T=BTAT(AB)^{T}=B^TA^T
  • (kA)T=kAT{(kA)}^T=kA^T

(注意第一条和第三条)

推广:

(A+B+C)T=AT+BT+CT(A1A2A3A4)T=A4TA3TA2TA1T(A+B+C)^T=A^T+B^T+C^T\\ (A_1A_2A_3A_4)^T={A_4}^T{A_3}^T{A_2}^T{A_1}^T

对称矩阵和反对称矩阵及其转置(特殊方阵)

对称矩阵满足aij=ajia_{ij}=a_{ji}AT=AA^T=A

反对称矩阵满足aij=aija_ij=-a_ijAT=AA^T=-A

设有A,B两个同阶对称方阵
(A+B)T=AT+BT(A+-B)^T=A^T+-B^T

(AB)T=BTAT=BAAB(AB)^T=B^TA^T=BA\neq{AB}

一般来说,对称矩阵相乘,结果不是对称矩阵

定理:ABAB若AB对称\Leftrightarrow{AB可交换}

(反对称矩阵与叉乘有关)

4、逆矩阵

tips:不要把矩阵放在分母上

​ 逆矩阵便是线性代数中构造的逆元

1、方阵的行列式

A=(a11a12a1na21a22a2nan1an2ann)A=a11a12a1na21a22a2nan1an2annA=\left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right) \quad |A|=\left| \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right|\\

方针行列式性质

  • AT=A|A^T|=|A|
  • kA=knA|kA|=k^n|A|
  • AB=AB()|AB|=|A||B|(多个方阵亦成立)

2、伴随矩阵

tips:只有方阵有伴随矩阵

设存在n阶方阵,A_ij为|A|中a_ij的代数余子式

A=(aij)=A~=(a11a12a13a1na21a22a23a2na3nan1an2an3ann)A=(a_{ij})=\widetilde{A}=\left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&a_{3n}\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right)

则A的伴随矩阵为,(按行求,按列放)

A=(A11A21A31An1A12A22A32An2A1nA2nA3nAnn)A^*=\left( \begin{matrix} A_{11}&A_{21}&A_{31}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&A_{32}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&A_{3n}&\cdots&A_{nn} \end{matrix} \right)

伴随矩阵性质

  • AA=AA=AEAA^{*}=A^{*}A=|A|E (证明参考行列式中的异乘定理)
  • A1=1AAA^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*
  • A=An1A^*|=|A|^{n-1} (不管A|A|等不等于0,证明)

(A)(A){(A^*)}^*\quad{ {(A^*)}^*}^*的结果是什么

伴随矩阵的性质及证明 - 豆丁网 (docin.com)

伴随矩阵6个公式证明 - 知乎 (zhihu.com)

3、*逆矩阵

定义

AA为n阶方阵,如果存在n阶方阵BB使得,AB=BA=EAB=BA=E(为n阶单位方阵)

则称AA是可逆的,BAB为A的逆矩阵,不存在BBAA不可逆

AA的逆矩阵为A1A^{ -1}

注意:

  • 未必所有方阵可逆
  • 可逆的方阵,逆矩阵唯一

唯一性证明:AB=E,AC=EC=C6yE=C(AB)=(CA)B=B设AB=E,AC=E,则C=C6yE=C(AB)=(CA)B=B

性质

  • AA1,(A1)1若A可逆,则A^{-1},且{(A^{-1})}^{-1}\\
  • A1,A2,,As(A1A2A3A)=A11A21As1若A_1,A_2,\cdots,A_s可逆,则他们的乘积也可逆,并且{(A_1A_2A_3\cdots{A})}={A_1}^{-1}{A_2}^{-1}\cdots{A_s}^{-1}
  • AAT(AT)1=(A1)T若A可逆,则A^T也可逆,且(A^T)^{-1}={(A^{-1})}^T

如何判断可逆

tips:若方阵|A|≠0,则称该矩阵非奇异,非退化,满秩,可逆

判断定理:

  1. 若矩阵AA有全零行(或全零列),那么矩阵AA一定不可逆

  2. A    A0A可逆\iff|A|≠0

    A1=1AAA^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*

逆矩阵怎么求

定义中的推论:A,B都是n阶方针,AB=E或BA=E,证明其中一个即可说明B是A的逆矩阵

  • 伴随矩阵法(很少用)
  • 初等变换法(更常用)

(解矩阵方程常用)

5、分块矩阵

注意分块矩阵的划分是直来直去的,

分块矩阵的运算

分块矩阵的运算,要求A和B的划分方式要让A,B每个字块可加,可乘

  • 加法A+BA+B(保证对应的两个子块规格相同)
  • 数乘kAkA
  • 乘法ABAB(A的列分块方式和B的行分块方式保持一致)

*分块矩阵的行列式运算

(拉普拉斯展开定理)

H=ACOB=AC|H|=\left| \begin{matrix} A&C\\ O&B\\ \end{matrix} \right| = |A||C|

这个定理,不是把子块当作元素求出,而是用拉普拉斯展开定理证得。(看相关网站

分块矩阵的转置

实现步骤:

  • 把子块当做元素进行转置
  • 把每个子块进行转置

分块对角阵

6、矩阵的初等变换和初等矩阵

初等行变换

  • 交换两行

    rirj(ij)r_i\rightarrow{r_j}(交换i,j两行)

  • 某一行乘以非零数k

    kri(k0)kr_{i}(k\neq0)

  • 将矩阵某一行的倍数加到另一行

    rj+kri(ikj)r_j+kr_{i}(将矩阵第i行的k倍加到第j行)

将"行"换成"列"即可得到 初等列变换 的定义

显然,三种变换都是 可逆 的。

初等行变换后 矩阵行列式的变化

矩阵进行初等行变化之后,发生了变化,但还是那个矩阵

当|A|是方阵时,进行初等行变化会有以下性质(

  • 对换定理,交换两行,行列式变号
  • 倍乘定理,k乘以某一行,行列式乘以k
  • 倍加定理,行列式不变

初等行变化的本质是对矩阵的变化,但矩阵还是那个矩阵,但行列式发生了变化(初等变换下,矩阵和行列式的关系)

初等变换的性质

  • 自反性
  • 对称性
  • 传递性

*阶梯形矩阵和标准形

定理:任意矩阵可以通过有限次初等变化化成标准形(行变化,列变化,或者组合)

img

行最简形矩阵

img

标准形矩阵

img

初等方针

对n阶单位矩阵E实施一次初等变换得到的矩阵称为n阶初等矩阵

4x4:E=(1111)E(i,j)=(1111)(i=2,j=1)E(i(k))=(1511)(i=2,k=5)E(i(k),j)=(5111)(i=2,k=5,j=1)4x4单位矩阵举例: E=\left( \begin{matrix} 1&&&\\ &1&&\\ &&1&\\ &&&1\\ \end{matrix} \right)\\ E(i,j)=\left( \begin{matrix} &1&&\\ 1&&&\\ &&1&\\ &&&1\\ \end{matrix} \right)(i=2,j=1)\\ E(i(k))=\left( \begin{matrix} 1&&&\\ &5&&\\ &&1&\\ &&&1\\ \end{matrix} \right)(i=2,k=5)\\ E(i(k),j)=\left( \begin{matrix} &5&&\\ 1&&&\\ &&1&\\ &&&1\\ \end{matrix} \right)(i=2,k=5,j=1)

易得,初等矩阵都是可逆的,且初等矩阵的逆矩阵是同一类形初等方阵即

E(i,j)1=E(i,j)E(i(k))1=E(i(1k))E(i(k),j))1=E(i(k),j){E(i,j)}^{-1}=E(i,j) \\ {E(i(k))}^{-1}=E(i(\frac{1}{k})) \\ {E(i(k),j))}^{-1}=E(i(-k),j)

初等方针是用来描述初等变化的矩阵算子

左行右列(变换算子代表的是初等行变换的时候)

方阵可逆的判别条件(根据初等矩阵和初等变换)

  • 任意矩阵可以通过有限次初等变换化成标准型
  • 定理1:任意矩阵A存在有限个初等矩阵(行变化初)P1,P2,P3,,Ps,()Q1,Q2,Q3,QtP_1,P_2,P_3,\cdots,{P_s},(列变化)Q_1,Q_2,Q_3,\cdots{Q_t}
  • 使得P1P2P3PsAQ1Q2Q3QtP_1P_2P_3\cdots{P_s}AQ_1Q_2Q_3\cdots{Q_t}为标准型
  • 推论:A,BPQ,使PAQ=BA,B等价\Leftrightarrow存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B
  • 定理2:AAE()A可逆\Leftrightarrow{A的标准型为E(单位矩阵)}
  • 定理3:AA=P11P21Ps1Q11Q21Q31Qt1A可逆\Leftrightarrow{A={P_1}^{-1}{P_2}^{-1}\cdots{P_s}^{-1}}{Q_1}^{-1}{Q_2}^{-1}{Q_3}^{-1}\cdots{Q_t}^{-1}

上述定理可以总结为:

nAnEAn阶方阵可逆\Leftrightarrow方阵A行等价于n阶单位矩阵E\Leftrightarrow方阵A可以表示为一些初等方阵的乘积

初等变化法的具体方法

  1. 首先构造分块矩阵(AE)(A|E)
  2. 对分块矩阵实施初等行变换,将该分块矩阵化成行最简形矩阵
  3. 判断:如果AA不能行等价于单位矩阵EE,则矩阵AA不可逆(或者说A块出现全零行);如果A能行等价于E(A块没有全零行),则A可逆,EE块就行等价于A1A^{-1}(即EE块部分就是所求逆矩阵)

注意:

化阶梯形时,对第一行,第二行,第三行的阶梯化简,要依次进行,整行进行操作

7、矩阵的秩(与向量组的秩不同)

定义

m×nm\times{n}的矩阵AA,其非零子式的最高阶数就是A的秩,记r(A)

性质

1、对于矩阵Am×nA_{m\times{n}}0r(A)min{m,n}0≤r(A)≤min\{m,n\}

满秩:r(A)=m,;r(A)=n,r(A)=m,称为行满秩;r(A)=n,称为列满秩

降秩:r(A)<min{m,n}r(A)<min\{m,n\}

**注意:**对于n阶方阵,若其满秩r(A)=n,即该方阵的n阶子式不等于0,意味着该方阵的行列式不等于0,该方阵可逆

2、r(A)=r(AT)r(A)=r(A^T)

3、初等变换不改变矩阵的秩

4、矩阵乘以可逆矩阵,秩不变

***性质4的推论:**P为m’阶可逆方阵,Q为n阶可逆方阵

r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)

定理:r(A)=r    r0r0r(A)=r\iff有一个r阶子式不为0,r以上的高阶子式都为0

(代数余子式展开即可)

*阶梯形矩阵

img

左起首非零元的零的个数按行的增加而严格增加

**阶梯形矩阵判断:**横线可跨多个列,竖线只跨一个数

*行最简化阶梯形矩阵

运用到的地方:极大相关组极其线性表示,解线性方程组(高斯消元法),矩阵方程,特征值和特征向量(就是求矩阵方程)

定义:

img

三步走判断:

  • 折线判断阶梯形
  • 首非零元1画竖线
  • 非零元所在列其余元素是0

矩阵的秩判断和线性表示

**定理1:**矩阵的初等变换(行和列皆可以)不改变矩阵的秩

**定理2:**矩阵通过初等变化变成阶梯形矩阵,矩阵的秩等于其非零行的行数

向量

定义

由n个数a1,a2,……,an组成的有序数组称为n维向量,写成

(a1a2an)(a1,a2,,an)\left( \begin{matrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n \end{matrix} \right) 或 (a_1,a_2,\cdots,a_n)

分量都是0的称为零向量

向量的运算

  • 相加相减
  • 数乘
  • 内积
  • 外积

向量组及其线性关系

定义

由n个维度相同的向量构成的集合,称为向量组

一个矩阵可以表示成一个向量组,建立一 一对应的关系

A=(a11a12a13a1na21a22a23a2na3nan1an2an3ann)=(β1Tβ2TβnT)=(α1,α2,,αn)(αjβi)A=\left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&a_{3n}\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\cdots&a_{nn} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} \beta^T_1\\ \beta^T_2\\ \vdots\\ \beta^T_n \end{matrix} \right) = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)\\ (\alpha_j为列向量,\beta_i为行向量)

向量组的等价

两个同维向量组可以相互线性表示,称两向量组等价

(与矩阵等价的定义作比较)

性质:

  • 反身性
  • 对称性
  • 传递性

线性相关和线性无关

线性相关

存在一组不全为0的数k1,k2,,knk_1,k_2,\cdots,k_n,使得k1α1+k2α2++knαn=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0

线性无关

找不到(不存在)一组不全为0的数k1,k2,,knk_1,k_2,\cdots,k_n,使得k1α1+k2α2++knαn=0k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0,只有全为0的解

性质:

  1. 向量组中两个向量成比例,该向量组必线性相关

  2. 一个零向量必相关

  3. 含零向量的任意向量组必相关

  4. 一个非零向量必无关

  5. 一个向量组线性相关,那么加上几个同维向量,向量组依旧线性相关(部分组相关,则整体组相关;整体组无关,部分组无关)

  6. 线性无关的向量组,其接长向量组线性无关

    线性相关的向量组,其截短向量组线性相关(逆否)

    (这里接长和截短是对向量的维度分量的,从线性方程组证明)

  7. n个n维向量组成向量组,D0D≠0等价于向量组线性无关;

    D=0D=0等价于向量组线性相关

线性相关的相关定理

α1,,αsβ\alpha_1,\cdots,\alpha_s相关\Leftrightarrow\beta可以由至少有一个向量由其余向量表示
α1,,αsββα1,,αs线\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta无关\Leftrightarrow\beta可以由\alpha_1,\cdots,\alpha_s唯一线性表示

*替换定理:α1,,αs\alpha_1,\cdots,\alpha_s线性无关,可由β1,βt,s<=t\beta_1,\cdots,\beta_t表示,则s<=t
逆否:α1,,αsβ1,βt\alpha_1,\cdots,\alpha_s可由\beta_1,\cdots,\beta_t表示,s>ts>t,则α1,,αs\alpha_1,\cdots,\alpha_s线性相关

若向量的个数m大于向量的维数n,m>n,则该m个向量必线性相关

推论:两个等价的线性无关组所含向量的个数是相同的

向量组的秩

极大线性无关组和秩

极大线性无关组定义

在一个n维向量组中取出s个向量α1,,αs,α1,,αs\alpha_1,\cdots,\alpha_s, \alpha_1,\cdots,\alpha_s线性无关,向量组其余向量都可以由这s个向量线性表示,
则称这s个向量为该向量组的极大线性无关组

向量组的秩即对应的极大线性无关组的个数

(与矩阵的秩定义------非零子式的最高阶数 是不同的,但有联系)

性质

对于一个向量组(α1,……,αs)

  • 0rα1,,αs0≤r(α_1,……,α_s)≤{向量的个数,维度数}
  • α1,,αs    r=sα_1,……,α_s 无关\iff r=s
  • α1,αs    r<sα_1,……,α_s相关\iff r<s

相关定理

1,任意向量与对应极大线性无关组等价

2,等价的向量组秩相等(等价传递性)

3、一个向量组线性无关的充要条件是它的秩等于向量的个数

矩阵的行秩和列秩

矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩r(A)

(非零子式的最高阶数)

r(AB)min{r(A),r(B)}r(AB)≤min\{r(A),r(B)\}

求极大线性无关组及线性表示

引理:矩阵仅作初等行变化不改变矩阵列向量之间的线性关系

也就是说,初等行变化之后,无关依旧无关,相关依旧相关

求解步骤:

  1. 按列向量构成矩阵
  2. 只做初等行变换,化成最简化阶梯形
  3. 首非零元1所在列即是极大线性无关组
  4. 其余向量的线性表示用从行简化阶梯形直接对应读出

image-20220320124851567

线性方程组有解判定

首先将增广矩阵化成行最简化形

A=(a11a12a13a1na11a12a13a2na3na11a12a13amn)广A~=(a11a12a13a1nb10a12a13a2nb1a3n000amnb1)系数矩阵{A}=\left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}\\ a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&a_{3n}\\ a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{mn} \end{matrix} \right) \\ 增广矩阵\widetilde{A}=\left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{1n}&b_{1}\\ 0&a_{12}&a_{13}&\cdots&a_{2n}&b_{1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&a_{3n}&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&a_{mn}&b_{1} \end{matrix} \right)\\

方程组m,n(m是方程个数,n是未知量个数)

  • r(A)=r(A~)=nr(A)=r(\widetilde{A})=n,有唯一解

  • r(A)=r(A~)<nr(A)=r(\widetilde{A})<n,有无穷多解

  • r(A)r(A~)r(A)\neq{r(\widetilde{A})},无解

    (n是向量组向量个数,或未知数个数)

判断流程:

  1. 写出增广系数矩阵

  2. 只做初等行变化,化为行阶梯型

  3. r(A)r(A)r(A~)r(\widetilde{A})是否相等),相等有解,不相等无解

  4. 有解的话,化最简化阶梯型写出一般解标出自由变量

    (基础解系)

矩阵的特征值和特征向量

特征向量与特征值的定义

AA为n阶矩阵,若存在数λ\lambda及非零列向量α\alpha,使得

Aα=λαA\alpha = \lambda\alpha

则称λ\lambda为矩阵AA的一个特征值,α\alpha属于特征值λ\lambda的一个特征向量

**tips:**n重特征值未必有n个线性无关的特征向量

特征多项式

A=(aij)A = (a_{ij})是n阶矩阵,记

λEA=[λa11a12a1na21λa22a2nan1an2λann]|\lambda E-A|= \left[ \begin{matrix} \lambda-a_{11} &-a_{12} &\cdots &-a_{1n}\\ -a_{21} &\lambda-a_{22} &\cdots &-a_{2n}\\ \vdots &\vdots & &\vdots\\ -a_{n1} &a_{n2} &\cdots &\lambda-a_{nn} \end{matrix} \right]

λEA|\lambda E-A|的展开式是一个关于λ\lambda的n阶多项式,称为AA的特征多项式,几位f(λ)f(\lambda)

定理:Ax=0Ax = 0有非零解\LeftrightarrowAA有零特征值

迹的定义:对于n阶方阵A=(aij)A=(a_{ij}),其对角线上各元素之和a11+a22+...+anni=1naiia_{11}+a_{22}+...+a_{nn}\sum_{i=1}^{n}a_{ii}称为AA,记为tr(A)tr(A)

方阵特征值与特征向量的性质

1,设n阶矩阵A=(aij)A = (a_{ij})的特征值为λ1,λ2,...,λn\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n,则有

  • λ1+λ2+...+λn=a11+a22+...+ann\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_n = a_{11}+a_{22}+...+a_{nn}
  • λ1λ2...λn=A\lambda_1\lambda_2...\lambda_n = |A|

(证明见书P119)

易推出,n阶方阵可逆\LeftrightarrowAA的特征值全为非零

2、设λ\lambda是方阵AA的特征值,α\alpha为对应于特征值λ\lambda的特征向量,则

  • λk\lambda^{k}为方阵AkA^k的特征值(k为非负整数),对应于特征值λk\lambda^k的特征向量是α\alpha
  • kλk\lambda为方阵kAkA的特征值(k为任意常数),对应于特征值kλk\lambda的特征向量是α\alpha
  • AA可逆时,λ1\lambda^{-1}为方阵A1A^{-1}的特征值,对应于特征值λ1\lambda^{-1}的特征向量为α\alpha
  • 若矩阵AA的多项式为φ(A)=amAm+...+a1A+a0E\varphi(A) = a_mA^m+...+a_1A+a_0E,则方阵φ(A)\varphi(A)的特征值为φ(λ)=amλm+...+a1λ+a0\varphi(\lambda) = a_m\lambda^m+...+a_1\lambda+a_0,对应于特征值φ(λ)\varphi(\lambda)的特征向量为α\alpha

3、一个方阵中,属于同一个特征值的不同特征向量,其线性组合亦是属于该特征值

4、一个方阵不同特征值对应的特征向量所组成的向量组线性无关

tips:

  • 若有两个特征值,各有一组向量组相对应,则两个两组组成的向量组线性无关
  • 不同特征值对应的特征向量,它们的线性组合不是AA的特征向量

相似矩阵

定义:A,BA,B为n阶方阵,若存在一个可逆矩阵PP,使得P1AP=AP^{-1}AP=A,则称AABB相似,记作ABA\sim B

性质:

  • 反身性 AAA\sim A
  • 对称性 若ABA\sim B,则BAB\sim A
  • 传递性 若AB,BCA\sim B,B\sim C,则ACA\sim C

性质2:若AABB相似,则A,BA,B有相同的特征多项式,即有相同的特征值,且A,BA,B的迹相等trA=trB=i=1nλitrA = trB = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i

性质3:若AABB相似,则

  1. A=B|A|=|B|,且AmBmA^m\sim B^m(m为正整数)
  2. AA可逆时,BB可逆且A1B1A^{-1}\sim B^{-1}

tips:(相似矩阵的同幂次方亦相似;一个矩阵可逆,其相似矩阵亦可逆)

*矩阵可对角化的条件

矩阵可对角化:一个n阶矩阵AA可以相似于一个n阶对角阵Λ\Lambda,则称Λ\LambdaAA的相似标准型

可对角化条件:

  • AA有n个线性无关的特征向量

  • AA有n个不同的特征值

    Λ=[λ1λ2λn]\Lambda = \left[ \begin{matrix} \lambda_1 &\\ &\lambda_2 &\\ & &\ddots &\\ & & &\lambda_n \end{matrix} \right]

  • m重特征值要有m个特征向量相对应

归结起来,都是第一条件,可对角化的AA所展开的空间可以由n个特征向量线性表示

实对称矩阵的对角化

内积

定义:α=[a1a2a3]\alpha = \left[ \begin{matrix}a1\\a2\\a3\end{matrix} \right]β=[b1b2b3]\beta = \left[ \begin{matrix}b1\\b2\\b3\end{matrix} \right]为两个列向量,则<α,β>=a1b1+a2b2+a3b3<\alpha, \beta> = a1b1+a2b2+a3b3,这种向量运算叫做内积

性质:

  • <α,α>=a12+a22+a32<\alpha, \alpha> = a1^2+a2^2+a3^2
  • <α,β>=<β,α><\alpha, \beta>= <\beta, \alpha>
  • <kα,β>=k<α,β><k\alpha, \beta> = k<\alpha, \beta>,<α,kβ>=k<α,β><\alpha, k\beta> = k<\alpha, \beta>,
    <kα,kβ>=k2<α,β><k\alpha, k\beta> = k^2<\alpha, \beta>
  • <α+β,γ>=<α,γ>+<β+γ><\alpha+\beta,\gamma> = <\alpha, \gamma> + <\beta + \gamma>

定理:

  1. α1,α2...,αs\alpha1,\alpha2...,\alpha{s}为正交向量组,则α1,α2...,αs\alpha1,\alpha2...,\alpha{s}线性无关

正交矩阵

定义:AA为一个n阶方阵,若满足ATA=EA^{T}A=E,则为正交矩阵

性质:

  • AA为正交矩阵,若A=1/1|A|=1/-1 ,则ATA=1|A^{T}||A|=1
  • AA为正交矩阵,若A1=ATA^{-1}=A^{T},且A1ATA^{-1}和A^{T}均为正交
    (A1=ATA^{-1}=A^{T})
  • A,BA,B为正交矩阵,则ABAB为正交矩阵
  • AA为正交矩阵,α,β\alpha,\beta为两个列向量,则<Aα.Aβ>=<α,β><A\alpha.A\beta>= <\alpha,\beta>

定理:AA为正交矩阵\LeftrightarrowAA的列(行)向量组是标准正交向量组

施密特正交化

**施密特正交化是求欧式空间正交基的一种方法。**从欧氏空间任意线性无关的向量组α1,α2,……,αm出发,求得正交向量组β1,β2,……,βm,使由α1,α2,……,αm与向量组β1,β2,……,βm等价,再将正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交向量组,这种方法称为施密特正交化。

方法:

β1=α1\beta1 = \alpha1
β2=α2<α2,β2><β1β1>β1\beta2 = \alpha2 - \frac{<\alpha2, \beta2>}{<\beta1 \beta1>}\beta1
β3=α3<α3,β1><β1,β1>β1<α3,α2><α3,α3>β2\beta3 = \alpha3 - \frac{<\alpha3, \beta1>}{<\beta1,\beta1>}\beta1- \frac{<\alpha3,\alpha2>}{<\alpha3,\alpha3>}\beta2

接着,将正交向量进行单位化即可

(利用内积计算投影再将其消去从而达到正交化的目的)

实对称矩阵对角化

定理:

  • 实对称矩阵AA的不同特征值的特征向量正交
  • 实对称矩阵的特征值均为实数
  • n阶实对称矩阵AA必定正交相似于实对角阵Λ\Lambda,该对角阵对角线上元素是AA的n个特征值

二次型化标准型

矩阵合同

定义:A,BA,B为n阶矩阵,若有可逆矩阵CC,使得B=CTACB=C^TAC,则称A,BA,B合同

性质:

  • 反身性:每个方阵与自身合同A=ETAEA=E^TAE
  • 对称性:若AABB合同,则BBAA合同
  • 传递性:A,BA,B合同,B,CB,C合同,则A,CA,C合同

定理:若AA为对称阵,则B=CTACB=C^TAC也为对称阵,且R(A)=R(B)R(A)=R(B)

矩阵关系图

等价 相似 合同 可逆


本博客所有文章除特别声明外,均采用 CC BY-SA 4.0 协议 ,转载请注明出处!